כמה כסף לשים במניה אחת? התשובה המתמטית של קריטריון קלי

מי שעוקב אחרי הבלוג יודע שההחזקות שלי מאוד מרוכזות יחסית למשקיעים אחרים. כ-25% מההון שלי מושקע בחברה אחת, ויותר מ-60% ב-4 חברות.  עולה השאלה – האם ריכוז כזה הוא הגיוני? כמה אחוזים מהתיק נכון לשים בהשקעה? 

אני עושה שימוש נוסחה  שמכונה “קריטריון קלי” (Kelly Criterion) שעונה בדיוק על השאלה הזו, ושאני ומשקיעים  אחרים עושים בה שימוש. בפוסט זה אציג את הנוסחה ואת המסקנות המפתיעות שהיא מובילה אליהן.

איך למקסם הון כשהסיכויים (קצת) מוטים לטובתך

 בשנת 1956 חוקר בשם ג’ון קלי כתב במאמר שהוציא בתחום התקשורת על אסטרטגיה מתמטית אשר ממקסמת את ה”עושר” הנצבר לאחר התוצאה של סדרה של הימורים. לפני שנדון בנוסחה עצמה, נבחן איך אנשים מתנהגים בעולם האמיתי. 

נניח שיש לך הזדמנות לשחק במשחק הבא: מציגים לך מטבע שנוחת על עץ 60% מהפעמים, נותנים לך 25$, מטילים את המטבע שוב ושוב כל שלושים שניות ואתה רשאי להמר על התוצאה בסכום כסף שתבחר. זמן המשחק מוגבל ל-30 דקות – סביבות 300 הטלות. הפרס המקסימלי הוגבל ל-250$.  מה האסטרטגיה שתבחר בה?

אקדים ואומר שבחירה באסטרטגיה טובה (אף אם לא אידיאלית) יכולה להוביל לפרס המקסימלי כמעט בוודאות מוחלטת. עם זאת תיאוריה לחוד והתנהגות בעולם האמיתי לחוד.

 ניסוי שנערך בשנת 2016 הציג ל-61 נסיינים בדיוק את ההצעה המתוארת לעיל. התוצאות הראו שהנסיינים לא היו מאוד טובים בתכנו אסטרטגיה יעילה. כמה תוצאות בולטות מהניסוי:

  • 28% מהנסיינים “פשטו רגל” ואיבדו את מלוא הסכום.
  • 30% מהנסיינים הימרו את כל הכסף על הטלה אחת.
  • 66% מהמשתתפים הימרו על פלי (התוצאה עם סיכוי של 40%) בשלב כלשהו בניסוי.
  • השחקן הממוצע יצא עם 91$, רק 21% מהמשתתפים השיגו את הפרס המקסימלי/

כפי שניתן לראות – ה”אינטואיציה” האנושית לגבי כמה כסף לשים בהימור לא מאוד טובה. הניסוי הראה שגם אם אתה מציג למגוון של אנשים את אותה השקעה בעצם, הם עדיין מצליחים להגיע לתוצאות שונות לחלוטין, החל מהכפלה פי 10 של ההשקעה ועד ל”פשיטת רגל” רק על ידי שינוי סכום הכסף שהם בחרו להמר. עד כדי כך חשוב משקל השקעה בתיק השקעות, ועד כדי כך אנחנו גרועים בזה. 

הנוסחה של קלי

הנוסחה שקלי פיתח מורכבת משני מרכיבים בלבד: p – הסיכוי לנצח (50%=0.5) ו-b – כמה דולרים נוספים תקבל על כל דולר ששמת במידה ותנצח. למשל, אם הכסף יוכפל אז b יהיה 1 (דולר אחד נוסף). הנוסחה קובעת שמהמר השואף למקסם את עושרו, יהמר אחוז מעושרו השווה לביטוי המתמטי הבא:

אפשר לפשט את השורה העליונה בנוסחה לתוחלת הרווח בהימור ואת השורה התחתונה לרווח הצפוי, ככל ותזכה. נעסוק בפישוט של הנוסחה בחלק הבא. כרגע נשתמש בנוסחה עצמה.

נבחן את הנוסחה בהתאם לדוגמה מהניסוי לעיל: יש 60% להטלה שתנחת על פלי –  p=0.6. כמו כן, ככל ואתה מנצח הכסף מוכפל – b=1.

נשים את המספרים בנוסחה של קלי ונקבל 0.2. המשמעות היא שבניסוי שהצגנו האסטרטגיה הטובה ביותר היא לשים 20% מכספנו על עץ בכל הטלה. ככל ואנחנו זוכים אנחנו מתאימים את ה-20% ל”עושרנו” החדש, או מקטינים ככל והפסדנו.

דוגמא נוספת – נניח שהפעם נעסוק בהטלת מטבע הוגנת 50/50 (p=0.5), אך הפעם אם נזכה נקבל 2$, ואם נפסיד נאבד 1$ (b=2). הנוסחה של קלי תורה לנו לשים 25% מכספנו בכל הימור שכזה.

יודגש  שהנוסחה רלוונטית רק כאשר הסיכוי לטובתכם – או שתרוויחו יותר משתפסידו ככל ותזכו, או שהסיכוי לטובתכם – אחרת, התוצאה תציג מספר שלילי – כלומר אין טעם להמר, או למעשה שכדאי לקחת את הצד השני של ההימור (להיות הקזינו). 

כאשר הסיכויים ידועים מראש שימוש בנוסחה של קלי היא הדרך המיטבית למקסום עושר, אך איך עושים שימוש בנוסחה של קלי בעולם האמיתי?

אסטרטגיית קלי וניהול כספים

כמה מהמשקיעים המוערכים ביותר, כולל וורן באפט, מוניש פאבראי (שכתב על אסטרטגיית קלי בספרו The Dhando Investor), ביל מילר ואד ת’ורפ, עשו וממשיכים לעשות שימוש באסטרטגיית קלי.

כדי לעבור מעולם ההימורים לעולם ההשקעות יש לערוך התאמות מינוריות לנוסחה שהוצגה לעיל. מוניש פאבראי פישט בספרו את הנוסחה של קלי ביחס לשוק המניות ל:

Edge/Odds=משקל המניה בתיק ההשקעות.

Edge – תוחלת הרווח הכללית. Odds – בכמה תזכה, ככל וההשקעה הצליחה.

ניקח דוגמה לשימוש בנוסחה מההחזקה הכי גדולה בתיק שלי – שוהם ביזנס (לפי מחיר מניה של 270 אגורות). נפשט ונחלק את התרחישים האפשריים בהשקעה לשלושה, לפי תרחישי צמיחה שונים:

תרחישהסתברותרווח בתרחיש
שוהם ממשיכה לצמוח בקצב הנוכחי עוד שנה, שווה בממוצע 800 אגורות למניה60%530
שוהם מפסיקה לצמוח , שווה בממוצע 300 אגורות למניה.30%30
תוצאות שוהם מידרדרות, שווי המניה יורד לאפס 10%270-

המספרים שמילאתי הם הערכה שלי למצב כיום בשוהם. בדוגמה זו, תוחלת הרווח היא 300  – זה ה-Edge. לגבי ה-Odds – כאן אנחנו לוקחים את הרווח הכולל במקרה של תוצאה חיובית – 530 פלוס 30 = 560.

ניקח את המשתנים, נכניס לנוסחה משקל בתיק של  300/560 – 53%. כלומר, אם ברצוננו “למקסם את עושרנו” נשים 53% מעושרנו במניה עם מאפיינים אלו.

אז האם שמתי 53% מכספי בשוהם? התשובה היא לא, מכמה סיבות:

  • ההמלצה של הנוסחה תלויה לגמרי באינפוטים שאתה מכניס לתוכה, מה שאומר שכל ההטיות הפסיכולוגיות שלך נכנסות לנוסחה.
  • הנוסחה מניחה שיש לכם הרבה הזדמנויות השקעה. השימוש בה לא מתאים לאדם שמתכנן לקנות מניה באופן חד פעמי. 
  • הנוסחה מניחה שיש מולך השקעה אחת בלבד, אך אתה רוצה לחלק את התיק בין 3 השקעות והנוסחה אומרת לך לשים בכל אחת מהן 50%, אתה נאלץ להתפשר. 
  • המטרה של הנוסחה היא “מקסום עושר” והיא לא מתעניינת בתנודתיות כלל. כלומר – היא יכולה להוביל לתיק מאוד תנודתי (תחשבו על תיק שיכול לרדת או לעלות בעשרות אחוזים אחרי פרסום דוח או ללא כל סיבה) שיקשה עליי לישון בלילה. 

בכל זאת, אני מאמין שכאשר מגיעה הזדמנות לעשות תשואה יוצאת דופן בהשקעה, כדאי לנצל אותה. אם מצאת השקעה טובה, כשהסיכויים מוטים לטובתך מאוד, לשים בה רק אחוזים בודדים מההון שלך זו התנהלות לא מיטבית.

אז מה עושים?  בספר Hedge fund market wizards, מציע הכותב לשים במניה חצי מהשיעור שמתקבל כתוצאה מהנוסחה כדי להוריד את התנודתיות של התיק תוך שמירה של רוב תוחלת הרווח. 

אני אישית לוקח את השיעור שאני מקבל משימוש בנוסחה (תוך השתדלות להיות כמה שיותר ריאליסטי בהסתברויות שאני מכניס לתוכה) ולוקח שיעור שהוא בין 25% ל-50% מהתוצאה שקיבלתי בתלות בכמה אני משוכנע באינפוטים שלי לנוסחה ובהיכרות שלי עם החברה. 

עם שוהם בחרתי ללכת על הצד הגבוה “בעיניים פקוחות”. צריך לזכור שאם מציעים לך לשים כסף על הטלת מטבע המוטה לטובתך, לשים כסף זו הבחירה הנכונה גם אם בדיעבד יסתבר שהמטבע נחת על הצד השני. בעולם ההשקעות, כמו בחיים, כל מה שאנחנו יכולים לעשות זה לבחור דרך פעולה או שיטת השקעה הגיונית ועקבית ולדבוק בה, ולתת להסתברות לעשות את שלה.

Print Friendly, PDF & Email

16 מחשבות על “כמה כסף לשים במניה אחת? התשובה המתמטית של קריטריון קלי”

  1. מוניש פבראי אמר באחת ההרצאות שלו שהוא מצטער על מה שכתב על קריטריון קלי בספר שלו, ואם היה יכול היה מוחק את הקטע הזה מהספר. מכיוון שראיתי את זה בוידאו בטח יהיה לי קשה לאתר את זה, אבל אני אנסה ואשתדל לחזור עם לינק.
    בכל מקרה: (1) קריטריון קלי רלוונטי רק למי שיכול לבצע הרבה הטלות, בעוד שלמשקיע טוב יש מעט הטלות; (2) זה בהחלט רעיון טוב לרכז את התיק ברעיונות הטובים ביותר שלך. 25% במנייה אחת זה מצוין. התנודתיות אמנם גדלה, אבל משקיע טוב מתעלם מהתנודתיות ועושה תשואה כוללת גבוהה יותר מזה שמפחד מתנודתיות.

  2. מצאתי! הנה הלינק להרצאה של מוניש פבראי, בערך ב-01:19:30: https://m.youtube.com/watch?v=_1aGen3q2_g.
    והנה הציטוט של מה שהוא אומר שם:
    one of the mistakes in my book is the whole discussion on Kelly formula. So, if I were to rewrite the book, I would not mention the Kelly formula. So the mistake I made in the book is that everything about the Kelly formula that I wrote is correct except that it only works when you get to do a zillion bets. So, if I am going to do a thousand coin tosses and I have 51% odds on heads and 49% on tails, and I keep betting heads, it’s going to work out for me. But in the stock market, I don’t get to do reported bets very frequently with very well-known odds. It’s really infrequent. And so this was not clear to me when I wrote the book and so what I would suggest is that if you are reading the book, just ignore the entire section on Kelly formula, so my apologies

    1. שלומי ארדן

      מאוד מעניין! לא הכרתי כמובן

      אני מבין את הביקורת אבל אני דווקא לא מסכים עם פבראי לגמרי בנקודה הזו. כבר כשמגיעים ל-sample size של עשרות הימורים היעילות של הנוסחה באה לידי ביטוי, ובאופן כללי כל מניה בתיק וכל תקופת זמן (אפשר לריב על איזו תקופה בדיוק – אולי בין דוח לדוח?) דומה במידה מסוימת להימור נפרד. איך שאני רואה את זה – משקיע לאורך זמן שבוחר כמה חברות בכל תקופה נחשף ממילא לעשרות או מאות “הימורים”, ולכן הנוסחה של קלי יכולה להיות קו מנחה טוב, גם אם התחלתי.

      1. לא מסכים איתך, מכיוון שתוצאת ההטלה נקבעת רק כשהמטבע הפסיק להסתובב ונחת על השולחן, ובמניות: כשמכרת את האחזקה שלך. לפני שמכרת ההטלה בכלל לא הסתיימה ואתה לא יודע אם יצא עץ או פלי.

        1. שלומי ארדן

          אני מבין מה אתה אומר, אבל נניח שאתה מדמיין כל סוף רבעון שמכרת את כל ההחזקות ואתה ומרכיב תיק מאפס בהתחשב בכל המידע הנוכחי החדש. זה דיי דומה להימור חדש.

          1. אתה מתאר משחק חדש, שהמטרה שלו היא להרוויח כל רבעון ולכן אתה אמור להעריך מה הסיכויים שלך להרוויח עד סוף הרבעון. זה לא משחק ההשקעות שלך.

  3. Carl Gauss

    אין פה ממש מתמטיקה ידידי,
    אתה מעריך מראשך הסתברויות, מבצע עליהן מניפולציות, מקבל מספר נוסף ומבצע עליו עוד מניפולציה- הכפלה בעוד מספר שאתה מעריך מראשך. הערכת הרבה מספרים, למה לא להעריך את המספר החשוב באמת- איזה אחוז מהתיק שלך אתה מוכן לשים בכל חברה?

    לא שמעתי את באפט מדבר על קריטריון קלי ואני די משוכנע שהוא לא השתמש בו מעולם.

    לגבי החלטות הקצאת הון- אין ספק שהן חשובות ביותר אך אני חושב שהן בקטגוריה של אומנות, ולא מדע. אני חושב ש25% מהתיק על עסק שאתה מכיר היטב עם מרג’ין אוף סייפטי גדול זה סטנדרטי. באפט ומאנגר מדברים בעד הקצאת הון מרוכזת- מאנגר אמר שלא צריך יותר מ3-4 מניות בתיק שלך אם אתה יודע מה אתה עושה, באפט מדבר על 5 שיתפסו נתח של 80% וגם מדגיש שאם אתה מכיר את העסקים שאתה מחזיק אתה לא צריך גיוון. גם גרינבלט רושם על זה בספר שלו. וגם דראקנמילר:
    “Diversification is the most destructive, over-rated concept in our business. Look at George Soros, Carl Icahn, Warren Buffett. What do they have in common? they make huge concentrated investments. You need ruthless discipline. If the reason you invested changes get the hell out and move on.” Stanley Druckenmiller

    כל החברים שמוזכרים למעלה עשו אתה מה שהם ממליצים עליו: באפט השקיע בזמן מסויים 70% מהתיק שלו בגייקו, ובזמן אחר 40% באמריקן אקספרס. מאנגר השקיע 61% מהתיק בבלו צ’יפ סטמפס ובשלב מסויים 84% מהתיק שלו היו בבלו צי’פ ובניו אמריקה יחד. גרינבלט החזיק בפורטפוליו מאוד מרוכז של 6-8 מניות בתחילת הדרך (כאשר עשה 50% בשנה), ובזמנים מסויימים בפחות. דראקנמילר (יחד עם סורוס) פתח שורט של 200% מקוונטום פאנד על הפאונד.

    בהצלחה עם הבלוג

    1. שלומי ארדן

      תודה על התגובה פרדריך!

      מסכים שכל שימוש בנוסחה תלוי לגמרי למעשה באינפוטים שלך, אבל האמת היא שכמשקיעים אין לנו ממש ברירה – אנחנו חייבים להחליט כמה אחוזים מהתיק לשים בכל השקעה. הרבה דיו נשפך וממשיך להישפך כדי להסביר איך לבחור השקעה ובמה להשקיע, אבל זה רק חלק מהמאמץ, ולאו דווקא החלק העיקרי. לגבי החלק של משקל בתיק – אין לנו ממש “מורה דרך”, אבל להשאיר את זה לשאלה “כמה אני מוכן לשים במניה” זה לא אידיאלי, כי התשובה תהיה בוודאות מוטה מכל מיני “שריטות” שלי כמו אהבה לסקטור מסוים, בלי בסיס אמיתי.

      לכל הפחות הנוסחה גורמת לך “לסדר את המחשבות” ונקודת התחלה. הנוסחה למשל מורה על הקצאה שונה לגמרי בין מניה שבסבירות גבוהה תעשה תשואה נמוכה, לבין מניה שבסבירות נמוכה תעשה תשואה מאוד גבוהה – כי הנוסחה רוצה שכדי למקסם תשואה לטווח ארוך “תישאר במשחק”.

      לגבי אומנות מול מדע – אני מסכים, אבל אני מאמין שצריך לנסות להכניס את ה”מדע” איפה שאפשר – זאת על ידי שימוש במודלים וצ’קליסטים איפה שאפשר, לפחות כדי שיהיה בסיס להתחיל ממנו. יש מחקרים שמראים שביצועים אפילו של מנתחים (surgeons) ברמה הכי גבוהה משתפרת פלאים עם צ’קליסט פשוט, ואחוז הטעויות וסיבוכים אחרי ניתוח יורדים פלאים. אין סיבה שזה לא יהיה נכון גם בניתוח מהסוג שלנו – Analysis.

  4. שלומי

    ספר מעניין מאוד בנושא הזה הוא:
    Fortune’s Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System That Beat the Casinos and Wall Street
    By William Poundston
    מסופר שם בעיקר על קלוד שאנון ואד טורפ ואיך הם השתמשו בנוסחת קלי. על המתנגדים לנוסחה ולמה (בעיקר מה שאסא כתב בתגובה שלו )ועל תומכיה…
    עוד חלק מעניין בספר הוא ההשוואה בין Geometric mean t
    ו arithmetic mean בהקשר של יחס סיכוי / סיכון.
    הספר גם מתאר את הנסיונות (המוצלחות ) של טורפ להכות את הקזינו ואת שוק המניות.
    הקיצר,ספר מומלץ למרות שיש חלקים בו (בעיקר על ההיסטוריה של ההתפתחות ההימורים)שניתן לקצר…

  5. מיכאל ל.

    תודה על עוד פוסט מחכים.

    אני די בטוח שזה לא הגיוני לסכום את הרווח במקרים החיוביים, אלא זה חייב להיות סוג כלשהו של ממוצע משוקלל.

    תחשוב למשל על מצב שבו במקום תרחיש צמיחה אחד בהסתברות 60% ורווח 530, יש לך 6 תרחישי צמיחה עם הסתברות 10% כל אחד ורווח 505, 515, 525, 535, 545, 555 בהתאמה. אם אתה פשוט סוכם את הרווחים בכל התרחישים בלי לקחת בחשבון את ההסתברות של כל תרחיש יוצא לך b=3210 במקום b=560 וזה למרות ששום דבר מהותי לא השתנה.

    אני לא יודע איך מצדיקים מתימטית את קריטריון קלי, ולכן אני לא יודע מה ההתאמה הנכונה שצריך לעשות לריבוי תרחישים. אבל כנראה שלא נכון פשוט לסכום את הרווח.

    תיקון שגיאת הקלדה: יצא 130 היכן שהתכוונת לכתוב 30.

    1. שלומי ארדן

      תודה מיקי, ייתכן מאוד שאתה צודק. קריטריון קלי מצוי במצב מוזר בו הוא עד היום משמש משקיעים אבל הוא כלל לא מתיימר לבנות תיק השקעות.

      נניח למשל שיש לי 5 השקעות, אני “שואל” את קריטריון קלי כמה לשים בכל אחת והוא אומר לי לשים בראשונה 60%, בשניה 50% , 40% , 30% ו-20%.איך בונים תיק? פתרון שאפשר לחשוב עליו זה לחבר את כל האחוזים (200%) ומשם לקחת את החלק היחסי (60/200%). זה נשמע הגיוני אבל אני לא חושב שזה נכון. קריטריון קלי תמיד יגיד לך לשים כסף בהשקעה בתוחלת חיובית אבל מה אם יש לך 100 השקעות יותר טובות? למה לשים אפילו שקל בהשקעה אחרת? לצערי אין לי את הכלים לפתור את השאלה הזו מעבר לאינטואיציה מה התשובה הנכונה – שיהיה נכון להתמקד ברעיונות הכי טובים – וזה מה שאני עושה גם בתיק שאני מנהל. הייתי שמח לקבל תשובה לשאלה הזו – איך משתמשים בקריטריון קלי לבניית תיק.

      1. מיכאל ל.

        על פי הערך בויקיפדיה, הנוסחה שרשמת למעלה היא מקרה פרטי של קריטריון קלי עבור הימור על נכס בודד עם 2 תרחישים.

        העיקרון הכללי הוא: הבא למקסימום את תוחלת לוג הערך של התיק.

        אני לא רואה איך מפיקים הקצאת נכסים אופטימלית על פי הקריטריון הזה באמצעות חישוב ידני, אבל אני בהחלט רואה איך אפשר לחשב, עבור תיק נתון, את תוחלת לוג הערך תחת הנחות על ההסתברות של כל תרחיש.

        משם הדרך קצרה לכתיבת תוכנה שמחשבת הקצאה אופטימלית בהינתן ההסתברות המשוערת של כל תרחיש.

        החלק היותר מסובך פה הוא לתת את ההסתברויות. צריך לייצר הסתברות לא רק לתרחיש “שוהם מצליחה” אלא לכל הקומבינציות, למשל: “שוהם מצליחה, לסיכו נכשלת, עילדב נכשלת, רפק מצליחה” וכו’. קל יותר לייצר את ההסתברות של כל קומבינציה אם מתעלמים מהתלות הסטטיסטית בין העסקים בתיק. קצת יותר מדויק ליצור תרחישי-על (“מיתון”, “צמיחה”, “צמיחה עם עודף היצע בשוק האשראי”) ואז להגיד שבהינתן תרחיש-העל, אנחנו אומרים מה ההסתברות של כל עסק להצליח, והעסקים בלתי תלויים. קצת יותר עבודה אבל לא נורא.

        בקיצור זה לא מאוד קשה עם התוכנה המתאימה, אבל אני לא רואה איך פותרים את זה אנליטית אלא רק חישובית.

  6. אלירן זיו

    היי שלומי אני כבר שעה מנסה להבין איך הגעת לפי הנתונים האלה שהEDGE שווה ל300?
    תוכל להסביר לי את התהליך שעברת כדי להגיע לזה בצורה מפורטת? ממש איבדתי את זה.

    1. שלומי ארדן

      היי אלירן,
      edge הוא ממוצע הזכיה שלך אם תשחק אינסוף פעמים – תוחלת הזכיה. בדוגמה עם המספרים שנתתי זה 60% כפול 530, 30% כפול 30 ועוד 10% כפול מינוס 270 – יוצא 300.

השאר תגובה

גלילה למעלה